ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ბატერვორტის ფილტრზე, განვიხილავთ ფილტრების ბრძანებებს, ათწლეულებსა და ოქტავებს და დეტალურად გავაანალიზებთ მესამე რიგის ბატერვორტის დაბალი გამტარ ფილტრს გაანგარიშებითა და სქემით.

შესავალი

მოწყობილობებში, რომლებიც იყენებენ ფილტრებს სიგნალის სიხშირის სპექტრის ფორმირებისთვის, მაგალითად, კომუნიკაციებში ან საკონტროლო სისტემებში, გადახვევის ფორმა ან სიგანე, რომელსაც ასევე უწოდებენ "გარდამავალ ზოლს", მარტივი პირველი რიგის ფილტრისთვის შეიძლება ძალიან გრძელი იყოს. ან ფართო და აქტიური ფილტრები, შექმნილია ერთზე მეტი "შეკვეთით". ამ ტიპის ფილტრები საყოველთაოდ ცნობილია, როგორც "მაღალი რიგის" ან "მე-მე რიგის" ფილტრები.

ფილტრის შეკვეთა

ფილტრის სირთულე ან ტიპი განისაზღვრება ფილტრების "მიმდევრობით" და დამოკიდებულია რეაქტიული კომპონენტების რაოდენობაზე, როგორიცაა კონდენსატორები ან ინდუქტორები მის დიზაინში. ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ჩამორთმევის სიჩქარე და, შესაბამისად, გარდამავალი გამტარუნარიანობა დამოკიდებულია ფილტრის თანმიმდევრულ რიცხვზე და რომ მარტივი პირველი რიგის ფილტრისთვის, მას აქვს სტანდარტული ჩამორთმევის სიჩქარე 20 dB/ათწლედში, ან 6 dB. /ოქტავა.

შემდეგ ფილტრისთვის, რომელსაც აქვს n-ე რიგის ნომერი, მას ექნება შემდგომი ჩამორთმევის სიჩქარე 20n dB/ათწლეულის, ან 6n dB/octave. Ამგვარად:

• პირველი შეკვეთის ფილტრიაქვს ჩამორთმევის სიჩქარე 20 dB/ათწლეულის (6 dB/ოქტავა)
• მეორე რიგის ფილტრიაქვს ჩამორთმევის სიჩქარე 40 dB/ათწლეულის განმავლობაში (12 dB/ოქტავა)
• მეოთხე რიგის ფილტრიაქვს roll off სიხშირე 80 dB/ათწლეულის (24 dB/ოქტავა) და ა.შ.

მაღალი რიგის ფილტრები, როგორიცაა მესამე, მეოთხე და მეხუთე, ჩვეულებრივ იქმნება კასკადური პირველი და მეორე რიგის ფილტრებით.

მაგალითად, ორი მეორე რიგის დაბალი გამტარი ფილტრი შეიძლება იყოს კასკადირებული მეოთხე რიგის დაბალი გამტარი ფილტრის შესაქმნელად და ა.შ. მიუხედავად იმისა, რომ არ არსებობს შეზღუდვა ფილტრის ფორმირებაზე, შეკვეთის გაზრდა ზრდის მის ზომას და ღირებულებას და ამცირებს მის სიზუსტეს.

ათწლეულები და ოქტავები

ბოლო კომენტარი ათწლეულებიდა ოქტავები. სიხშირის მასშტაბით ათწლეულიარის ათჯერ ზრდა (გამრავლება 10-ზე) ან ათჯერ შემცირება (გაყოფა 10-ზე). მაგალითად, 2-დან 20 ჰც-მდე წარმოადგენს ერთ ათწლეულს, ხოლო 50-დან 5000 ჰც-მდე წარმოადგენს ორ ათწლეულს (50-დან 500 ჰც-მდე და შემდეგ 500-დან 5000 ჰც-მდე).

ოქტავაარის გაორმაგება (გამრავლება 2-ზე) ან განახევრება (გაყოფა 2-ზე) სიხშირის შკალაზე. მაგალითად, 10-დან 20 ჰც-მდე წარმოადგენს ერთ ოქტავას, ხოლო 2-დან 16 ჰც-მდე წარმოადგენს სამ ოქტავას (2-დან 4-მდე, 4-დან 8-მდე და ბოლოს 8-დან 16 ჰც-მდე), ყოველ ჯერზე გაორმაგდება სიხშირე. Მაინც, ლოგარითმულისასწორები ფართოდ გამოიყენება სიხშირის დომენში, რათა მიუთითონ სიხშირის მნიშვნელობა გამაძლიერებლებთან და ფილტრებთან მუშაობისას, ამიტომ მნიშვნელოვანია მათი გაგება.

ვინაიდან სიხშირის განმსაზღვრელი რეზისტორები ყველა თანაბარია, სიხშირის განმსაზღვრელი კონდენსატორებიც თანაბარია, პირველი, მეორე, მესამე ან თუნდაც მეოთხე რიგის ფილტრისთვის ათვლის ან კუთხის სიხშირე (ƒ C) ასევე უნდა იყოს ტოლი და ნაპოვნი ნაცნობი განტოლების გამოყენებით. :

როგორც პირველი და მეორე რიგის ფილტრების შემთხვევაში, მესამე და მეოთხე რიგის მაღალგამტარი ფილტრები იქმნება სიხშირის განმსაზღვრელი კომპონენტების (რეზისტორების და კონდენსატორების) პოზიციების უბრალოდ ეკვივალენტური დაბალი გამტარი ფილტრის პოზიციების შეცვლით. მაღალი დონის ფილტრების დაპროექტება შესაძლებელია იმ პროცედურების დაცვით, რომლებიც ადრე ვნახეთ დაბალი გამტარი და მაღალი გამტარი ფილტრების სახელმძღვანელოებში. თუმცა, მაღალი რიგის ფილტრების საერთო მოგება არის დაფიქსირებული,ვინაიდან სიხშირის განმსაზღვრელი ყველა კომპონენტი ერთნაირია.

ფილტრის მიახლოებები

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ დაბალი სიხშირის და მაღალი სიხშირის პირველი რიგის ფილტრის სქემები, მათი შედეგად მიღებული სიხშირე და ფაზის მახასიათებლები. იდეალური ფილტრი მოგვცემს ზოლის მაქსიმალური მომატებისა და სიბრტყის სპეციფიკაციებს, მინიმალურ გამტარი ზოლის შესუსტებას და ძალიან ციცაბო ზოლს, რათა შეაჩეროს ზოლის ჩამორთმევა (გარდამავალი ზოლი) და ამიტომ აშკარაა, რომ დიდი რიცხვიქსელის პასუხები დააკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს.

გასაკვირი არ არის, რომ ხაზოვანი ანალოგური ფილტრის დიზაინში არსებობს მთელი რიგი „დაახლოების ფუნქციები“, რომლებიც იყენებენ მათემატიკურ მიდგომას ფილტრის დიზაინისთვის საჭირო გადაცემის ფუნქციის საუკეთესო მიახლოებისთვის.

ასეთი სტრუქტურები ცნობილია როგორც ელიფსური, ბუტერვორთი, ჩებიშევი, ბესელი, კაუერიდა მრავალი სხვა. ამ ხუთი "კლასიკური" ხაზოვანი ანალოგური ფილტრის მიახლოების ფუნქციიდან მხოლოდ ბუტერვორტის ფილტრიდა განსაკუთრებით დიზაინი დაბალი გამტარი Butterworth ფილტრიაქ განიხილება, როგორც მისი ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფუნქცია.

დაბალი უღელტეხილის Butterworth ფილტრი

მიახლოების ფუნქციის სიხშირის პასუხი ბუტერვორტის ფილტრიასევე ხშირად მოიხსენიება, როგორც „ბრტყელი“ (რიპლის გარეშე), რადგან გამტარუნარიანობა შექმნილია იმისთვის, რომ ჰქონდეს სიხშირეზე პასუხი, რომელიც არის რაც შეიძლება ბრტყელი მათემატიკურად, 0 ჰც-დან (DC) -3 დბ-მდე წყვეტის სიხშირე ტალღის გარეშე. უფრო მაღალი სიხშირეები ათვლის წერტილს მიღმა იკლებს ნულამდე 20 დბ/ათწლეულის ან 6 დბ/ოქტავის გაჩერების დიაპაზონში. ეს იმიტომ, რომ მას აქვს "ხარისხის ფაქტორი", "Q" მხოლოდ 0.707.

თუმცა, ბუტერვორტის ფილტრის ერთ-ერთი მთავარი მინუსი არის ის, რომ იგი აღწევს ამ გამშვები ზოლის სიბრტყეს ფართო გარდამავალი ზოლის ფასად, რადგან ფილტრი იცვლება გამშვები ზოლიდან გაჩერების ზოლზე. მას ასევე აქვს ცუდი ფაზის მახასიათებლები. იდეალური სიხშირის პასუხი, რომელსაც ეწოდება "აგურის კედლის" ფილტრი, და სტანდარტული ბუტერვორტის მიახლოებები სხვადასხვა ფილტრების შეკვეთებისთვის მოცემულია ქვემოთ.

გაითვალისწინეთ, რომ რაც უფრო მაღალია ბატერვორტის ფილტრის რიგი, მით მეტია კასკადური საფეხურების რაოდენობა ფილტრის დიზაინში და რაც უფრო უახლოვდება ფილტრი იდეალურ "აგურის კედლის" პასუხს.

თუმცა, პრაქტიკაში, იდეალური ბატერვორტის სიხშირეზე პასუხის მიღწევა შეუძლებელია, რადგან ის იწვევს ზედმეტ ტალღებს ზოლში.

სად არის განზოგადებული განტოლება, რომელიც წარმოადგენს "n-ე" რიგის ბატერვორტის ფილტრს, სიხშირის პასუხი მოცემულია შემდეგნაირად:

სადაც: n წარმოადგენს ფილტრის წესრიგს, ω არის 2πƒ და ε არის მაქსიმალური გამტარუნარიანობის მომატება (A max).

თუ A max განისაზღვრება სიხშირეზე, რომელიც ტოლია -3 dB (ƒc) კუთხოვანი წერტილის ტოლი, მაშინ ε იქნება ერთის ტოლი და შესაბამისად ε 2 ასევე იქნება ერთის ტოლი. თუმცა, თუ გსურთ განსაზღვროთ A max სხვადასხვა ძაბვის მომატებაზე, როგორიცაა 1 dB ან 1,1220 (1 dB = 20 * logA max), მაშინ ε-ის ახალი მნიშვნელობა იპოვება:

მონაცემების განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ:

სიხშირის პასუხიფილტრი შეიძლება განისაზღვროს მათემატიკურად მისი გადაცემის ფუნქციაძაბვის გადაცემის სტანდარტული ფუნქციით H (jω) და იწერება როგორც:

შენიშვნა: (jω) ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც (s) აღსანიშნავად S- რეგიონები.და მიღებული გადაცემის ფუნქცია მეორე რიგის დაბალი გამტარი ფილტრისთვის მოცემულია:

ნორმალიზებული Low Pass Butterworth ფილტრის პოლინომები

მისი დაბალი გამტარი ფილტრების დიზაინის დასახმარებლად, ბატერვორთმა შექმნა მეორე რიგის ნორმალიზებული დაბალი გამტარი პოლინომების სტანდარტული ცხრილები, მოცემული კოეფიციენტების მნიშვნელობებით, რომლებიც შეესაბამება კუთხის წყვეტის სიხშირეს 1 რადიანი/წმ.

ნ	ნორმალიზებული მნიშვნელის პოლინომები ფაქტორიზებული სახით
1	(1+S)
2	(1 + 1.414 წმ + წმ 2)
3	(1 + წმ) (1 + წმ + წმ 2)
4	(1 + 0,765 წმ + წმ 2) (1 + 1,848 წმ + წმ 2)
5	(1 + წმ) (1 + 0,618 წმ + წმ 2) (1 + 1,618 წმ + წმ 2)
6	(1 + 0,518 წმ + წმ 2) (1 + 1,414 წმ + წმ 2) (1 + 1,932 წმ + წმ 2)
7	(1 + წმ) (1 + 0.445 წმ + წმ 2) (1 + 1.247 წმ + წმ 2) (1 + 1.802 წმ + წმ 2)
8	(1 + 0,390 წმ + წმ 2) (1 + 1,111 წმ + წმ 2) (1 + 1,663 წმ + წმ 2) (1 + 1,962 წმ + წმ 2)
9	(1 + წმ) (1 + 0,347 წმ + წმ 2) (1 + წმ + წმ 2) (1 + 1,532 წმ + წმ 2) (1 + 1,879 წმ + წმ 2)
10	(1 + 0,313 წმ + წმ 2) (1 + 0,908 წმ + წმ 2) (1 + 1,414 წმ + წმ 2) (1 + 1,782 წმ + წმ 2) (1 + 1,975 წმ + წმ 2)

დაბალი გამტარი ბუტერვორტის ფილტრის გაანგარიშება და წრე

იპოვეთ აქტიური დაბალი გამტარი ბატერვორტის ფილტრის რიგი, რომლის მახასიათებლები მოცემულია შემდეგნაირად: A max = 0,5 dB გამტარი ზოლის სიხშირეზე (ωp) 200 რადიანი/წმ (31,8 ჰც) და A min = -20 dB გაჩერების სიხშირეზე. (ωs) ) 800 რადიანი/წმ. ასევე შეიმუშავეთ შესაბამისი Butterworth ფილტრის წრე ამ მოთხოვნების დასაკმაყოფილებლად.

პირველი, მაქსიმალური გამშვები მონაკვეთის მომატება A max = 0.5 dB, რაც უდრის მომატებას 1,0593 გახსოვდეთ, რომ: 0,5 dB = 20 * log (A) (ωp) 200 რად/წმ-ზე, ასე რომ, ε epsilon-ის მნიშვნელობა გვხვდება:

მეორეც, შეჩერების მინიმალური მომატება A min = -20 dB, რაც უდრის მომატებას 10 (-20 dB = 20 * log (A)) გაჩერების სიხშირეზე (ωs) 800 რად/წმ ან 127,3 ჰც.

ბატერვორტის ფილტრების სიხშირის პასუხის ზოგად განტოლებაში მნიშვნელობების ჩანაცვლება გვაძლევს შემდეგს:

ვინაიდან n ყოველთვის უნდა იყოს მთელი რიცხვი, შემდეგი უმაღლესი მნიშვნელობა 2.42 იქნება n = 3, ასე რომ "საჭიროებს მესამე რიგის ფილტრს"და შექმნას ბუტერვორტის ფილტრიმესამე რიგის, მეორე რიგის ფილტრის ეტაპი მოითხოვს კასკადურ კავშირს პირველი რიგის ფილტრის საფეხურთან.

ნორმალიზებული დაბალი გამტარი ბატერვორტის პოლინომების ცხრილიდან, მესამე რიგის ფილტრის კოეფიციენტი მოცემულია როგორც (1 + s) (1 + s + s 2 ) და ეს გვაძლევს მოგებას 3-A = 1 ან A = 2 . A = 1 +-ში (Rf / R1), მნიშვნელობის არჩევა როგორც უკუკავშირის რეზისტორის Rf, ასევე რეზისტორისთვის R1 ​​გვაძლევს მნიშვნელობებს 1 kΩ და 1 kΩ, შესაბამისად, როგორც: (1 kΩ / 1 kΩ) + 1 = 2. .

ჩვენ ვიცით, რომ ათვლის კუთხის სიხშირე, -3 dB წერტილი (ω o) შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით 1 / CR , მაგრამ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ω o გამშვები ზოლის სიხშირიდან ω p .

ასე რომ, კუთხის გათიშვის სიხშირე მოცემულია 284 რად/წმ ან 45.2 ჰც (284/2π) და ნაცნობი 1/RC ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ რეზისტორებისა და კონდენსატორების მნიშვნელობები ჩვენი მე-3 რიგის სქემისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ 0.352uF-თან უახლოესი სასურველი მნიშვნელობა იქნება 0.36uF ან 360nF.

და ბოლოს, ჩვენი დაბალი გამტარი ფილტრის წრე ბუტერვორთიმესამე რიგი 284 რად/წმ ან 45,2 ჰც ათვლის კუთხის სიხშირით, მაქსიმალური გამტარი ზოლის მომატება 0,5 დბ და მინიმალური გაჩერების ზოლის მომატება 20 დბ აგებულია შემდეგნაირად.

ასე რომ, ჩვენი მე-3 რიგის Butterworth დაბალი გამტარი ფილტრისთვის კუთხის სიხშირით 45,2 ჰც, C = 360 nF და R = 10 kΩ

ფილტრებში, გაანგარიშება ჩვეულებრივ იწყება ფილტრის პარამეტრების დაყენებით, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია სიხშირის პასუხი. როგორც უკვე განვიხილეთ სტატიაში, მოცემული ფილტრის მოთხოვნები ჯერ მცირდება LPF პროტოტიპის მოთხოვნებზე. დაპროექტებული ფილტრის დაბალი გამტარი ფილტრის პროტოტიპის ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის მოთხოვნების მაგალითი ნაჩვენებია სურათზე 1.

სურათი 1. დაბალი გამტარი ფილტრის ნორმალიზებული სიხშირის პასუხის მაგალითი

ეს გრაფიკი აჩვენებს ფილტრის მომატების დამოკიდებულებას ნორმალიზებულ სიხშირეზე ξ , სად ξ = ვ/ფვ

გრაფიკი 1-ში გვიჩვენებს, რომ დასაშვები მომატების ტალღა დაყენებულია გამშვებ ზოლში. ჩარევის სიგნალის ჩახშობის მინიმალური კოეფიციენტი მითითებულია გაჩერების ზოლში. ნამდვილ ფილტრს შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი ფორმა. მთავარი ის არის, რომ ის არ კვეთს მითითებული მოთხოვნების საზღვრებს.

საკმაოდ დიდი ხნის განმავლობაში, ფილტრის გამოთვლა ხდებოდა ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის შერჩევის მეთოდით სტანდარტული ბმულების გამოყენებით (m-link ან k-link). ამ მეთოდს ეწოდა განაცხადის მეთოდი. ის საკმაოდ რთული იყო და არ უზრუნველყოფდა ოპტიმალურ თანაფარდობას შემუშავებული ფილტრის ხარისხსა და ბმულების რაოდენობას შორის. ამიტომ განვითარდნენ მათემატიკური მეთოდებიამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის მიახლოება მოცემულ მახასიათებლებთან.

მიახლოება მათემატიკაში არის კომპლექსური დამოკიდებულების წარმოდგენა ზოგიერთი ცნობილი ფუნქციით. როგორც წესი, ეს ფუნქცია საკმაოდ მარტივია. ფილტრის განვითარების შემთხვევაში, მნიშვნელოვანია, რომ მიახლოების ფუნქცია ადვილად განხორციელდეს მიკროსქემის დიზაინში. ამისათვის ფუნქციები ხორციელდება ოთხი ტერმინალის გადაცემის კოეფიციენტის ნულებისა და პოლუსების გამოყენებით, ამ შემთხვევაში ფილტრი. ისინი ადვილად ხორციელდება LC სქემების გამოყენებით ან უკუკავშირით.

ფილტრის სიხშირის პასუხის მიახლოების ყველაზე გავრცელებული ტიპია ბატერვორტის მიახლოება. ასეთ ფილტრებს ბუტერვორტის ფილტრებს უწოდებენ.

ბუტერვორტის ფილტრები

ბატერვორტის ფილტრისთვის დამახასიათებელი ამპლიტუდა-სიხშირის გამორჩეული თვისება არის მინიმალური და მაქსიმალური არარსებობა გამშვებ ზოლში და დაყოვნებაში. სიხშირის პასუხის ვარდნა ამ ფილტრების გამშვები ზოლის კიდეზე არის 3 დბ. თუ ფილტრი მოითხოვს გამშვები ზოლის ტალღის უფრო მცირე მნიშვნელობას, მაშინ ფილტრის სიხშირის დაბრუნება ვ c არჩეულია მითითებული ზედა გამშვები სიხშირის ზემოთ. სიხშირის პასუხის მიახლოების ფუნქცია დაბალი გამტარი პროტოტიპის Butterworth ფილტრისთვის შემდეგია:

(1),

სადაც ξ არის ნორმალიზებული სიხშირე;
ნ- ფილტრის შეკვეთა.

ამ შემთხვევაში, განვითარებული ფილტრის რეალური ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებელი შეიძლება მივიღოთ ნორმალიზებული სიხშირის გამრავლებით. ξ ფილტრის გამორთვის სიხშირემდე. Butterworth-ის დაბალი გამტარი ფილტრისთვის, სიხშირის პასუხის მიახლოების ფუნქცია ასე გამოიყურება:

(2).

ახლა ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ფილტრების გამოთვლისას ფართოდ გამოიყენება რთული s სიბრტყის კონცეფცია, რომელზედაც წრიული სიხშირე გამოსახულია y ღერძის გასწვრივ. jω, და აბსცისის გასწვრივ არის ხარისხის ფაქტორის ორმხრივი. ამრიგად, შესაძლებელია განისაზღვროს LC სქემების ძირითადი პარამეტრები, რომლებიც შედიან ფილტრის წრეში: ტუნინგის სიხშირე (რეზონანსული სიხშირე) და ხარისხის ფაქტორი. s- თვითმფრინავზე გადასვლა ხორციელდება გამოყენებით.

მოცემულია ბატერვორტის ფილტრის პოლუსების პოზიციის დეტალური წარმოშობა კომპლექსურ s სიბრტყეზე. ჩვენთვის მთავარია, რომ ამ ფილტრის ბოძები განლაგდეს ერთეულ წრეზე ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე. ბოძების რაოდენობა განისაზღვრება ფილტრის თანმიმდევრობით.

სურათი 2 გვიჩვენებს ბოძების განლაგებას პირველი რიგის ბუტერვორტის ფილტრისთვის. სიახლოვეს ნაჩვენებია სიხშირის პასუხი, რომელიც შეესაბამება პოლუსების მოცემულ მდებარეობას კომპლექსურ s სიბრტყეზე.

სურათი 2. პირველი რიგის ბატერვორტის ფილტრის ბოძის მდებარეობა და სიხშირის პასუხი

სურათი 2 გვიჩვენებს, რომ პირველი რიგის ფილტრისთვის პოლუსი უნდა იყოს მორგებული ნულოვანი სიხშირეზე და მისი ხარისხის ფაქტორი უნდა იყოს ერთის ტოლი. სიხშირეზე პასუხის გრაფიკი აჩვენებს, რომ ბოძის დარეგულირების სიხშირე მართლაც ნულია, ხოლო ბოძის ხარისხის ფაქტორი ისეთია, რომ ნორმალიზებული ბუტერვორტის ფილტრის ათვლის სიხშირეზე, რომელიც უდრის ერთიანობას, მისი გადაცემის კოეფიციენტი არის -3 დბ.

მეორე რიგის ბუტერვორტის ფილტრის ბოძები ზუსტად ანალოგიურად არის განსაზღვრული. ამჯერად, ბოძების დარეგულირების სიხშირე შეირჩევა ერთეული წრის კვეთაზე, წრის ცენტრში გამავალი სწორი ხაზით 45° კუთხით.

სურათი 3. მეორე რიგის ბატერვორტის ფილტრის პოლუსების განლაგება და სიხშირე

ამ შემთხვევაში, ბოძის რეზონანსული სიხშირე მდებარეობს ნორმალიზებული ფილტრის ათვლის სიხშირის მახლობლად. ის უდრის 0,707-ს. ბოძების ხარისხის კოეფიციენტი პოლუსების ნაკვეთის მიხედვით ფესვში ორჯერ აღემატება პირველი რიგის ბატერვორტის ფილტრის ბოძის ხარისხის კოეფიციენტს, ამიტომ ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის დაშლის დახრილობა უფრო დიდია. . (ყურადღება მიაქციეთ დიაგრამის მარჯვენა მხარეს არსებულ ციფრებს. სიხშირის 2-ის გადანაცვლებით, შესუსტება უკვე 13 დბ) პოლუსის სიხშირეზე პასუხის მარცხენა მხარე ბრტყელია. ეს გამოწვეულია უარყოფითი სიხშირეების ზონაში მდებარე პოლუსის გავლენით.

მესამე რიგის ბატერვორტის ფილტრის პოლუსის პოზიცია და სიხშირის პასუხი ნაჩვენებია 4-ზე.

სურათი 4. ბუტერვორტის მესამე რიგის ფილტრის ბოძების განლაგება

როგორც ჩანს 2 ... 5 სურათზე ნაჩვენები გრაფიკებიდან, ბატერვორტის ფილტრის რიგის მატებასთან ერთად, იზრდება ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის დაშლის ფერდობი და მეორე რიგის მიკროსქემის საჭირო ხარისხის ფაქტორი. (ჩართვა), რომელიც ახორციელებს ფილტრის გადაცემის მახასიათებლის ბოძს იზრდება. ეს არის საჭირო ხარისხის ფაქტორის ზრდა, რომელიც ზღუდავს ფილტრის მაქსიმალურ შეკვეთას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს. დღეისათვის შესაძლებელია Butterworth-ის ფილტრების დანერგვა მერვე-მეათე რიგის ჩათვლით.

ჩებიშევის ფილტრები

ჩებიშევის ფილტრებში ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებელი მიახლოებულია შემდეგნაირად:

(3),

ამ შემთხვევაში, რეალური ჩებიშევის ფილტრის ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებელი, ისევე როგორც ბუტერვორტის ფილტრში, შეიძლება მივიღოთ ნორმალიზებული სიხშირის გამრავლებით. ξ შემუშავებული ფილტრის ათვლის სიხშირეზე. დაბალი გამტარი ჩებიშევის ფილტრისთვის, სიხშირის პასუხი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

(4).

დაბალგამტარი ჩებიშევის ფილტრის სიხშირეზე პასუხი ხასიათდება უფრო ციცაბო ჩამორთმევით სიხშირის რეგიონში ზედა უღელტეხილის სიხშირის ზემოთ. ეს მომატება მიიღწევა გამშვებ ზოლში არათანაბარი სიხშირის პასუხის გამოჩენის გამო. ჩებიშევის ფილტრის AFC-ის მიახლოების ფუნქციის არაერთგვაროვნება გამოწვეულია ბოძების უფრო მაღალი ხარისხის ფაქტორით.

მოცემულია s- სიბრტყეზე ჩებიშევის ფილტრის მიახლოებითი ფუნქციის პოლუსების პოზიციის დეტალური წარმოშობა. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია, რომ ჩებიშევის ფილტრის ბოძები განლაგებულია ელიფსზე, რომლის ძირითადი ღერძი ემთხვევა ნორმალიზებული სიხშირეების ღერძს. ამ ღერძზე ელიფსი გადის დაბალი გამტარი ფილტრის ათვლის სიხშირის წერტილში.

ნორმალიზებულ ვერსიაში ეს წერტილი უდრის ერთს. მეორე ღერძი განისაზღვრება გამშვებ ზოლში სიხშირეზე პასუხის მიახლოების ფუნქციის არაერთგვაროვნებით. რაც უფრო დიდია დასაშვები ზოლის ტალღა, მით უფრო მცირეა ეს ღერძი. ბუტერვორტის ფილტრის ერთეული წრის ერთგვარი „გაბრტყელებაა“. როგორც ჩანს, ბოძები უახლოვდება სიხშირის ღერძს. ეს შეესაბამება ფილტრის ბოძების ხარისხის ფაქტორის ზრდას. რაც უფრო დიდია არაერთგვაროვნება უღელტეხილზე, მით მეტია ბოძების ხარისხის ფაქტორი, მით უფრო დიდია შესუსტების მაჩვენებელი ჩებიშევის ფილტრის გაჩერების ზოლში. სიხშირეზე პასუხის მიახლოების ფუნქციის პოლუსების რაოდენობა განისაზღვრება ჩებიშევის ფილტრის ბრძანებით.

უნდა აღინიშნოს, რომ არ არსებობს პირველი რიგის ჩებიშევის ფილტრი. მეორე რიგის ჩებიშევის ფილტრის პოლუსების მდებარეობა და სიხშირეზე პასუხი ნაჩვენებია სურათზე 5. ჩებიშევის ფილტრის მახასიათებელი საინტერესოა იმით, რომ მასზე აშკარად ჩანს ბოძების სიხშირეები. ისინი შეესაბამება მაქსიმალური სიხშირის პასუხს გამშვებ ზოლში. მეორე რიგის ფილტრისთვის ბოძების სიხშირე შეესაბამება ξ =0.707.

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

Butterworth ფილტრი 4 შეკვეთა

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

ჩებიშევის ფილტრი 3 ბრძანებით

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

ჩებიშევის ფილტრი 4 ბრძანებით

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

მე-3 რიგის ბესელის ფილტრი

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

ბესელის ფილტრი 4 შეკვეთით

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> LPF1)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> HPF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> PF)

DF-ის სიხშირის თვისებების კონვერტაცია (LPF --> RF)

ციფრული დაბალი გამტარი ფილტრის კოეფიციენტების დაყენებისას შეცდომების გაანალიზება სიხშირის პასუხზე (ერთ-ერთი კოეფიციენტის შეცვლით b ჯ). აღწერეთ სიხშირეზე პასუხის ცვლილების ბუნება. გააკეთეთ დასკვნა ერთ-ერთი კოეფიციენტის შეცვლის გავლენის შესახებ ფილტრის ქცევაზე.

ჩვენ გავაანალიზებთ შეცდომების გავლენას ციფრული დაბალი გამტარი ფილტრის კოეფიციენტების დაყენებაში სიხშირის პასუხზე მე-4 რიგის ბესელის ფილტრის მაგალითის გამოყენებით.

ჩვენ ვირჩევთ ε კოეფიციენტების გადახრის მნიშვნელობას –1,5%-ის ტოლი, ისე, რომ სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა იყოს დაახლოებით 10%.

"იდეალური" ფილტრისა და ფილტრების სიხშირის პასუხი შეცვლილი კოეფიციენტებით ε-ის მნიშვნელობით ნაჩვენებია ფიგურაში:

და

ნახატიდან ჩანს, რომ b 1 და b 2 კოეფიციენტების ცვლილება ყველაზე დიდ გავლენას ახდენს სიხშირეზე რეაგირებაზე (მათი მნიშვნელობა აღემატება სხვა კოეფიციენტების მნიშვნელობას). ε-ის უარყოფითი მნიშვნელობის გამოყენებით აღვნიშნავთ, რომ დადებითი კოეფიციენტები ამცირებს ამპლიტუდას სპექტრის ქვედა ნაწილში, ხოლო უარყოფითი კოეფიციენტები ზრდის მას. ε დადებითი მნიშვნელობით, ყველაფერი პირიქით ხდება.

ციფრული ფილტრის კოეფიციენტების კვანტირება ორობითი რიცხვების ისეთი რაოდენობით, რომ სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა საწყისიდან არის დაახლოებით 10 - 20%. დახაზეთ სიხშირის პასუხი და აღწერეთ მისი ცვლილების ბუნება.

კოეფიციენტების წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობის შეცვლით ბ ჯგაითვალისწინეთ, რომ სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა ორიგინალიდან, არაუმეტეს 20%, მიღებულია n≥3-ზე.

სიხშირის პასუხის ტიპი სხვადასხვასთვის ნნაჩვენებია ფიგურებში:

ნ \u003d 3, სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა \u003d 19.7%

ნ \u003d 4, სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა \u003d 13.2%

ნ \u003d 5, სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა \u003d 5.8%

ნ \u003d 6, სიხშირის პასუხის მაქსიმალური გადახრა \u003d 1.7%

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს, რომ ბიტის სიღრმის ზრდა ფილტრის კოეფიციენტების კვანტიზაციის დროს იწვევს იმ ფაქტს, რომ ფილტრის სიხშირის პასუხი უფრო და უფრო მიდრეკილია თავდაპირველისკენ. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ეს ართულებს ფილტრის ფიზიკურ განხორციელებას.

Quantization სხვადასხვა ნჩანს ფიგურაში:

გაკვეთილის თემა 28: ელექტრო ფილტრების კლასიფიკაცია.

28.1 განმარტებები.

ელექტრული სიხშირის ფილტრი არის ოთხტერმინალური ქსელი, რომელიც კარგად გადის ზოგიერთი სიხშირის დენებს დაბალი შესუსტებით (3 dB) და სხვა სიხშირეების დენები ცუდად მაღალი შესუსტებით (30 dB).

სიხშირეების დიაპაზონს, რომლებშიც მცირე შესუსტებაა, ეწოდება გამშვები ზოლი.

სიხშირეების დიაპაზონს, რომლებშიც შესუსტება დიდია, ეწოდება გაჩერების ზოლი.

ამ ზოლებს შორის შემოღებულია გარდამავალი ზოლი.

ელექტრული ფილტრების მთავარი მახასიათებელია ოპერაციული შესუსტების დამოკიდებულება სიხშირეზე.

ამ მახასიათებელს ეწოდება შესუსტების სიხშირის პასუხი.

არის ათვლის სიხშირე, რომლის დროსაც ოპერაციული შესუსტება არის 3 დბ.

- დასაშვები შესუსტება, დადგენილი ფილტრის მექანიკური პარამეტრებით.

- დასაშვები სიხშირე, რომელიც შეესაბამება დასაშვებ შესუსტებას.

PP-სიჩქარე - სიხშირის დიაპაზონი, რომელშიც
დბ.

ST - გაჩერების ზოლი - სიხშირის დიაპაზონი, რომელშიც სამუშაო შესუსტება აღემატება დასაშვებს.

28.2 კლასიფიკაცია

1
გამტარუნარიანობის ადგილმდებარეობის მიხედვით:

ა) LPF - დაბალი გამტარი ფილტრი - გადის დაბალ სიხშირეებს და აყოვნებს მაღალს.

იგი გამოიყენება საკომუნიკაციო აღჭურვილობაში (ტელევიზიის მიმღებები).

ბ
) HPF - მაღალი გამტარი ფილტრი - გადის მაღალ სიხშირეებს და აყოვნებს დაბალს.

ვ
) PF - გამტარი ფილტრები - გადის მხოლოდ გარკვეული სიხშირის დიაპაზონს.

გ
) ZF - მაღალი დონის ან ბლოკირების ფილტრები - არ გადის მხოლოდ გარკვეული სიხშირის დიაპაზონს, დანარჩენი კი გადის.

2 ელემენტის ბაზის მიხედვით:

ა) LC ფილტრები (პასიური)

ბ) RC ფილტრები (პასიური)

გ) აქტიური ARC ფილტრები

დ) სპეციალური ტიპის ფილტრები:

პიეზოელექტრული

მაგნიტოსტრიქციული

3 პროგრამული უზრუნველყოფისთვის:

ა
) ბუტერვორტის ფილტრები. ოპერაციული შესუსტების მახასიათებელი
აქვს 0 მნიშვნელობა f=0 სიხშირეზე და შემდეგ იზრდება მონოტონურად. გამშვებ ზოლში მას აქვს ბრტყელი მახასიათებელი - ეს არის უპირატესობა, მაგრამ გაჩერების ზოლში არ არის მაგარი - ეს არის მინუსი.

ბ) ჩებიშევის ფილტრები. უფრო ციცაბო პასუხის მისაღებად გამოიყენება ჩებიშევის ფილტრები, მაგრამ მათ აქვთ "ტალღოვანი" ზოლში, რაც მინუსია.

გ) ზოლოტარევის ფილტრები. ოპერაციული შესუსტების მახასიათებელი
უღელტეხილზე მას აქვს ტალღოვანი, ხოლო გაჩერების ზოლში აქვს დამახასიათებელი ჩაღრმავება.

გაკვეთილის თემა 29: Butterworth LF და HF ფილტრები.

29.1 ბატერვორთი LF.

ბატერვორტმა შემოგვთავაზა ამორტიზაციის შემდეგი ფორმულა:

, დბ

სადაც
- Butterworth ფუნქცია (ნორმალიზებული სიხშირე)

n - ფილტრის შეკვეთა

LPF-სთვის
, სად - ნებისმიერი სასურველი სიხშირე

არის ათვლის სიხშირე, რომელიც უდრის

ამ მახასიათებლის გასაცნობად გამოიყენება L და C ფილტრები.

და

ინდუქციურობა მოთავსებულია დატვირთვასთან სერიაში, ვინაიდან
და ზრდასთან ერთად იზრდება
.აქედან გამომდინარე, დაბალი სიხშირის დენები ადვილად გაივლის ინდუქტორის წინაღობას და მაღალი სიხშირის დენები გაჭიანურდება და არ შედის დატვირთვაში.

კონდენსატორი მოთავსებულია დატვირთვის პარალელურად
ასე რომ, კონდენსატორი კარგად გადის მაღალი სიხშირის დენებს, ხოლო დაბალი - ცუდად. მაღალი სიხშირის დენები დაიხურება კონდენსატორის მეშვეობით, ხოლო დაბალი სიხშირის დენები გადადის დატვირთვაში.

ფილტრის წრე შედგება L და C მონაცვლეობით.

LPF Butterworth მე-3 რიგის T- ფორმის

LPF Butterworth. მე-3 რიგის U- ფორმის.

გვერდი 1 2-დან

განვსაზღვროთ ფილტრის მიმდევრობა საჭირო პირობების მიხედვით სტოპში შესუსტების გრაფიკის მიხედვით G. Lam-ის წიგნში „ანალოგური და ციფრული ფილტრები“ ქ.8.1 გვ.215.

ნათელია, რომ მე-4 რიგის ფილტრი საკმარისია საჭირო შესუსტებისთვის. გრაფიკი ნაჩვენებია იმ შემთხვევისთვის, როდესაც w c \u003d 1 რად / წმ, და, შესაბამისად, სიხშირე, რომელზედაც საჭიროა აუცილებელი შესუსტება არის 2 რად / წმ (შესაბამისად 4 და 8 კჰც). ზოგადი სქემა Butterworth ფილტრის გადაცემის ფუნქციისთვის:

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფილტრის მიკროსქემის განხორციელებას:

აქტიური მეოთხე რიგის დაბალი გამტარი ფილტრი რთული უარყოფითი გამოხმაურებით:

იმისათვის, რომ სასურველ წრეს ჰქონდეს სასურველი სიხშირის პასუხი, მასში შემავალი ელემენტები შეიძლება შეირჩეს არც თუ ისე მაღალი სიზუსტით, რაც ამ მიკროსქემის პლუსია.

მეოთხე რიგის აქტიური დაბალი გამტარი ფილტრი დადებითი გამოხმაურებით:

ამ წრეში საოპერაციო გამაძლიერებლის მომატებას უნდა ჰქონდეს მკაცრად განსაზღვრული მნიშვნელობა და ამ მიკროსქემის მოგება იქნება არაუმეტეს 3. ამიტომ, ეს წრე შეიძლება გაუქმდეს.

მე-4 რიგის აქტიური დაბალი გამტარი ფილტრი ომური უარყოფითი გამოხმაურებით

ეს ფილტრი აგებულია ოთხ ოპამპერზე, რაც ზრდის ამ მიკროსქემის გამოთვლის ხმაურს და სირთულეს, ამიტომ ჩვენ ასევე უარვყოფთ მას.

განხილული სქემებიდან ვირჩევთ ფილტრს რთული უარყოფითი გამოხმაურებით.

ფილტრის გაანგარიშება

გადაცემის ფუნქციის განსაზღვრა

ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტების ცხრილის მნიშვნელობებს მეოთხე რიგის Butterworth ფილტრისთვის:

a 1 \u003d 1.8478 b 1 \u003d 1

a 2 \u003d 0.7654 b 2 \u003d 1

(იხ. W. Titze, K. Schenk "Semiconductor circuitry" ჩანართი. 13.6 გვ. 195)

გადაცემის ფუნქციის ზოგადი გამოხატულება მეოთხე რიგის დაბალი გამტარი ფილტრისთვის:

(იხ. W. Titze, K. Schenk "Semiconductor Circuitry" ცხრილი 13.2 გვ. 190 და ფორმა 13.4 გვ. 186).

პირველი ბმულის გადაცემის ფუნქციას აქვს ფორმა:

მეორე ბმულის გადაცემის ფუნქციას აქვს ფორმა:

სადაც w c არის ფილტრის გათიშვის წრიული სიხშირე, w c =2pf c .

ნაწილების დასახელების გამოთვლა

გამონათქვამების (2) და (3) კოეფიციენტების (1) კოეფიციენტებთან გაუტოლებით მივიღებთ:

მუდმივი სიგნალის გადაცემის კოეფიციენტები კასკადებისთვის, მათი ნამრავლი A 0 დავალების მიხედვით უნდა იყოს 10-ის ტოლი. ისინი უარყოფითია, რადგან ეს ეტაპები ინვერსიულია, მაგრამ მათი პროდუქტი იძლევა დადებით მოგებას.

მიკროსქემის გამოსათვლელად უმჯობესია დააყენოთ კონდენსატორების ტევადობა, ხოლო R 2-ის მნიშვნელობა რომ იყოს მართებული, უნდა დაკმაყოფილდეს პირობა.

და შესაბამისად

ამ პირობებიდან გამომდინარე, არჩეულია C 1 \u003d C 3 \u003d 1 nF, C 2 \u003d 10 nF, C 4 \u003d 33 nF.

გამოთვალეთ წინააღმდეგობის მნიშვნელობები პირველი ეტაპისთვის:

მეორე ეტაპის წინააღმდეგობის მნიშვნელობები:

OU შერჩევა

ოპ-გამაძლიერებლის არჩევისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფილტრის სიხშირის დიაპაზონი: ოპ-ამპერატორის ერთიანობის მომატების სიხშირე (რომელზეც მომატება უდრის ერთიანობას) უნდა იყოს მეტი, ვიდრე გათიშვის სიხშირის ნამრავლი. და ფილტრის მომატება K y.

ვინაიდან მაქსიმალური მომატება არის 3.33, ხოლო ათვლის სიხშირე 4 kHz, თითქმის ყველა არსებული ოპ-ამპერი აკმაყოფილებს ამ მდგომარეობას.

ოპ გამაძლიერებლის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი პარამეტრია მისი შეყვანის წინაღობა. ის უნდა იყოს ათჯერ მეტი, ვიდრე მიკროსქემის რეზისტორების მაქსიმალური წინააღმდეგობა.

მაქსიმალური წინააღმდეგობა წრედში არის 99.6 kOhm, ამიტომ op-amp-ის შეყვანის წინააღმდეგობა უნდა იყოს მინიმუმ 996 kOhm.

ასევე აუცილებელია OS-ის დატვირთვის სიმძლავრის გათვალისწინება. თანამედროვე ოპტიმალური ამპერატორებისთვის მინიმალური დატვირთვის წინააღმდეგობაა 2 kOhm. იმის გათვალისწინებით, რომ R1 და R4 წინააღმდეგობები არის 33.2 და 3.09 kΩ, შესაბამისად, ოპერაციული გამაძლიერებლის გამომავალი დენი, რა თქმა უნდა, იქნება მაქსიმალურ დასაშვებზე ნაკლები.

ზემოაღნიშნული მოთხოვნების შესაბამისად, ჩვენ ვირჩევთ OU K140UD601 შემდეგი პასპორტის მონაცემებით (მახასიათებლები):

კ წთ = 50000

R in = 1 MΩ